| Главная | Математика | Программирование | Caché | Творчество | Решатели |

Внутреннее сопряжение кватернионов. Каратаев Евгений Анатольевич. Волжский, июль 2002 Эта статья является своего рода продолжением работы [1]. Речь пойдет о применении методики получения операции сопряжения как следствия процедуры удвоения алгебры. Сопряжение названо внутренним с целью дать ему собственное название. Ввиду того, что мне недоступны сведения об этом сопряжении из других источников, вполне допускаю, что данной публикацией мог повторить работу, выполненную ранее другими. В статье я описываю вывод сопряжения и рассуждения, с ним связанные, в том порядке, в котором они были получены. Алгебра кватернионов $Q$ образуется из алгебры комплексных чисел $C$ некоммутативным удвоением: $$Q = C_1 + C_2 j$$ (1) Более подробное описание свойств алгебр кватернионов и комплексных чисел можно посмотреть, например, в [2]. Процедура некоммутативного удвоения неоднозначна: можно выполнить удвоение также как: $$Q = C_1 + j C_2$$ (2) В первом случае будет получена система с правым законом умножения $(ij=k)$, а во втором - с левым законом умножения $(ij=-k)$. Далее для определённости будем оперировать правыми кватернионами. Традиционное обозначение кватерниона в покомпонентной записи имеет вид: $$q = q_0 + i q_1 + j q_2 + k q_3$$ (3) или $$q = q_0 + i q_1 + ( q_2 + i q_3) j$$ (4) Следуя методике получения операции сопряжения как следствия операции удвоения, мы должны сменить знак у компонент при мнимых единицах, в образовании которых участвовала единица удвоения $j$. Временно обозначив такое сопряжение как $q^*$, получим: $$q^* = q_0 + i q_1 - j q_2 - k q_3$$ (5) В силу линейности этой операции она имеет свойство: $$a^* \pm b^* = (a \pm b)^*$$ (6) Теперь распишем произведение двух кватернионов покомпонентно. Именно такое расписывание и поможет увидеть следующее и очень важное свойство. $$\begin{array}{cccccccccc} ab &=& &a_0 b_0 &- &a_1 b_1 &- &... ...&+k&(&a_0 b_3 &+ &a_3 b_0 &+ &a_1 b_2 &- &a_2 b_1) \end{array}$$ (7) Используем эту формулу в качестве заготовки и рассмотрим произведение вида $a^*b^*$ : $$\begin{array}{ccccccccccc} a^*b^* &=& &&a_0 b_0 &- &a_1 b_... ...k&(&-&a_0 b_3 &- &a_3 b_0 &- &a_1 b_2 &+ &a_2 b_1) \end{array}$$ (8) Сравнив результат с произведением $ab$, получаем что $$a^* b^* = (ab)^*$$ (9) Именно на этом соотношении и будет основан дальнейший вывод. Рассмотрим произведение $aa^*$: $$aa^* = a_0 a_0 - a_1 a_1 + a_2 a_2 + a_3 a_3 + i ( a_0 a_1 + a_1 a_0)$$ (10) Остальные члены в этой формуле, в отличие от приведенных выше двух выкладок, сокращаются до нуля. Из этой же формулы следует ещё одно важное соотношение: $$a a^* = a^* a$$ (11) И это произведение является комплексным числом, числом алгебры, послужившей исходной в процедуре получения алгебры кватернионов путем удвоения. Как и ожидалось (интуитивно, правда), сумма и произведение $q$ и $q^*$ дают комплексное число исходной алгебры и эти операции (сумма, произведение и сопряжение) могут быть использованы для выделения в кватернионе отдельных компонент. Уточним - в сочетании с сопряжением по мнимой единице i может быть выделен любой компонент кватерниона. Сведём в список полученные свойства нового сопряжения: $$\begin{array}{rcl} a^* \pm b^* &=& (a \pm b)^* \\ a^* b^* &=& (ab)^* \\ a a^* &=& a^* a \end{array}$$ (12) В силу линейности операции сопряжения $q^*$ она коммутирует с операцией векторного сопряжения по композиции: $$\overline{(q^*)} = \left(\bar{q}\right)^* = \bar{q}^*$$ (13) При этом величина $\bar{q}^*$ образуется из $q$ сменой знака у компоненты при единице $i$: $$\bar{q}^* = q_0 - i q_1 + j q_2 + k q_3$$ (14) В силу циклической симметрии мнимых единиц $i,j,k$ как правых так и левых кватернионов это сопряжение (смена знака у компоненты при одной мнимой единице) является одним из тройки сопряжений: по $i$, по $j$ и по $k$. Обозначим сопряжение по одной из мнимых единиц верхним индексом в круглых скобках: $$\begin{array}{rcl} q^{(i)} = q_0 - i q_1 + j q_2 + k q_3 \... ...+ k q_3 \\ q^{(k)} = q_0 + i q_1 + j q_2 - k q_3 \end{array}$$ (15) Назовём сопряжение, образованное путем смены знаков у мнимых единиц, внутренним и введём различение их на одинарное внутреннее $(q^{(i)})$ и двойное внутреннее $(\bar{q}^*)$. В силу свойств $\overline{(ab)}=\bar{b}\bar{a}$ и $a^*b^*=(ab)^*$ имеем: $$\overline{(ab)}^* = \bar{b}^* \bar{a}^*$$ (16) Или для тройки одинарных внутренних сопряжений: $$\begin{array}{rcl} (ab)^{(i)} &= & b^{(i)} a^{(i)} \\ (a... ...{(j)} a^{(j)} \\ (ab)^{(k)} &= & b^{(k)} a^{(k)} \end{array}$$ (17) В силу линейности одинарного внутреннего сопряжения также справедливы соотношения: $$\begin{array}{rcl} a^{(i)} \pm b^{(i)} &=& (a \pm b)^{(i)}... ...{(j)} \\ a^{(k)} \pm b^{(k)} &=& (a \pm b)^{(k)} \end{array}$$ (18) Таким образом, первоначально рассмотренное сопряжение (названное двойным внутренним) является последовательным применением одинарных внутренних сопряжений по $j$ и $k$: $$q^* = q^{(j,k)}$$ (19) Одинарные внутренние сопряжения коммутативны по композиции в силу их линейности: $$\left(a^{(i)}\right)^{(j)} = \left(a^{(j)}\right)^{(i)} = a^{(i,j)} = a^{(j,i)}$$ (20) Таким образом, в алгебре кватернионов существует 3 одинарных внутренних сопряжения: $$a^{(i)}, a^{(j)}, a^{{k}}$$ и 3 двойных внутренних сопряжения: $$a^{(i,j)}, a^{(j,k)}, a^{(i,k)}$$ При этом векторное сопряжение может быть представлено в виде композиции всех трех одинарных внутренних сопряжений: $$\bar{q} = q^{(i,j,k)}$$ (21) И если с помощью операции суммы и сопряжения $q^{(j,k)}$ можно в кватернионе выделить комплексное число $q_0 + i q_1$, то с помощью операции суммы и сопряжений $q^{(j,k)}$ и $q^{(i,j)}$ можно выделить комплексные числа $q_0 + j q_2$ и $q_0 + k q_3$ соответственно. В качестве дополнительных свойств внутреннего сопряжения рассмотрим очень важную функцию экспоненты. Экспоненциальный ряд задаётся как $$e^q = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{q^n}{n!}$$ (22) Ряд состоит из сумм произведений. Применив свойства внутреннего сопряжения $$(a \pm b)^{(i)} = a^{(i)} \pm b^{(i)}$$ и $$a^{(i)} b^{(i)} = \left(ba\right)^{(i)}$$ а также тот факт, что произведения являются целыми степенями числа: $$a^{(i)} a^{(i)} = \left(aa\right)^{(i)}$$ $$a^{(i)} a^{(i)} a^{(i)} = a^{(i)} \left(aa\right)^{(i)} = \left(aaa\right)^{(i)}$$ (23) $$a^{(i)} a^{(i)} \ldots a^{(i)} = \left(aa \ldots a\right)^{(i)}$$ получим систему равенств: $$exp(q^{(i)}) = \left(exp(q)\right)^{(i)}$$ $$exp(q^{(j)}) = \left(exp(q)\right)^{(j)}$$ (24) $$exp(q^{(k)}) = \left(exp(q)\right)^{(k)}$$ Проводя подобные рассуждения, но используя двойное внутреннее сопряжение, получим ещё одну систему равенств: $$exp(q^{(i,j)}) = \left(exp(q)\right)^{(i,j)}$$ $$exp(q^{(j,k)}) = \left(exp(q)\right)^{(j,k)}$$ (25) $$exp(q^{(i,k)}) = \left(exp(q)\right)^{(i,k)}$$ Аналогичные соотношения могут быть получены и для других элементарных функций, задаваемых в виде рядов. Отметим также, что вышеприведённые соотношения для экспоненты внутренне сопряжённого кватерниона могут быть получены из рассмотрения аналитического представления экспоненты от кватерниона: $$e^q = e^{q_0}\left(\cos{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}+\frac{iq_... ...\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}\sin{\sqrt{q_1^2+q_2^2+q_3^2}}\right)$$ (26) Надеюсь, что знакомство с внутренним сопряжением кватернионов поможет найти решение в возможной затруднительной ситуации. Ссылки 1. Каратаев Е.А. Сопряжения в гиперкомплексных алгебрах. http://karataev.nm.ru/conj/index.html 2. Каратаев Е.А. Классификатор гиперкомплексных чисел. http://karataev.nm.ru/hipclass/index.html

Ссылки по теме Классификатор Полуточка Полуточка: модель скорости Кватернионы и 3-мерные вращения Кватернионы и 3-мерные отражения Скалярная проекция гиперкомплексных чисел Версия для печати

| Главная | Математика | Программирование | Caché | Творчество | Решатели | Дизайн и сопровождение: Евгений Каратаев

Если вам необходим почтовый аккаунт, тогда почта на Qip.ru - ваш выбор. Для хранения фото и видео рекомендуем бесплатный фотохостинг.
Для студентов и абитуриентов: крупнейшая библиотека рефератов и сочинений. Скриншот экрана - просто и удобно с QIP Shot.

З а к р ы т ь